如上图，设ab=x,△abc=y为已知曲线q=f（x）下的面积，作de∥ab⊥ad∥be=p=1。当线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积  abed=x，变化率 ；cb扫出面积△abc=y，变化率 ， 。由此得 ，

  这就是说，面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值。这就是微积分基本定理。利用问题（b）的解法可求出面积y。

  作为例子，牛顿算出纵坐标为  曲线下的面积是 ；反之，纵坐标为 的曲线真切线斜率为 。当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不能算是现代意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

  在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。前面讲过，面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。正如牛顿本人在《流数简论》中所说：一旦反微分问题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们说牛顿发明了微积分。

  在《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大的普遍性与系统性。

   流数术的发展

  《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的。牛顿于1667年春天回到剑桥，对自己的微积分发现未作宣扬。他在这一年10月当选为三一学院成员，次年又获硕士学位，并不是因为他在微积分方面的工作，而是因为在望远镜制作方面的贡献。但从那时起直到1693年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积分学说，先后定成了三篇微积分论文，它们分别是：

  （1）《运用无限多项方程的分析》（De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，简称《分析学》，完成于1669年）；

  （2）《流数法与无穷级数》（Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum，简称《流数法》，完成于1671年）；

  （3）《曲线求积术》（Tractatus de Quadratura Curvarum，简称《求积术》，完成于1691年）。

这三篇论文，反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到，牛顿对于微积分的基础先后给出了不同的解释。

第一篇《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作。1668年苏格兰学者麦卡托（N.Mercator）发表了对数级数的结果，这促使牛顿公布自己关于无穷级数的成果。《分析学》利用这些无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现了牛顿的微保健与无穷级数紧密结合的特点。关于微积分本身，《分析学》有简短的说明。论文一开始就叙述了计算曲线 下面积的法则。设有 表示的曲线，牛顿论证所求面积为 。牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为o，以 代x， 代z，则

用二项式定理展示后以o除两边，略去o的项，即得 。反过来就知曲线 下的面积是 。牛顿接着给出了另一条法则：若y值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理。

由上述可知，牛顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令为零，从而带上了浓厚的不可分量色彩。