1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。

流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。说在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（Tract on Fluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：

（a）设有两个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系。

（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比 的关系方程式，求另一线段y。

牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。

已知方程 ，牛顿分别以 和 代换方程中的x和y，然后利用二项式定理，展开得

消去和为零的项 ，得

，以o除之，得

这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略去这些无限小，得

即所求的速度p与q的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多项式 ，问题（a）的解为