1720年，尼古拉.伯努利证明了函数 在一定条件下，对x,y求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有 欧拉在1734年的一篇文章中也证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏导数理论。达朗贝尔在1743年的著作《动力学》和1747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算。不过当时一般都用同一个记号d表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号 、 、…到19世纪40年代才由雅可比在其行列式理论中正式创用并逐步普及，虽然拉格朗日在1786年曾建议使用这一符号。

多重积分实际上已包含在牛顿关于万有引力的计算中，但牛顿使用了几何论述。在18世纪，牛顿的工作被人以分析的形式推广。1748年欧拉用累次积分算出了表示一厚度为 的椭圆薄片对其中正上方一质点的引力的重积分： ，积分区域由椭圆 围成。到1770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。而拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。

4）无穷级数理论

微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的流数论中自由运用无穷级数，他凭藉二项式定理得到了sinx，cosx，tanx，arcsinx，arctanx和 等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展成无穷级数的一般方法。在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。

莱布尼茨也曾独立地得到了sinx,cosx,和arctanx等的级数，但他却对微积分问题的有限或封闭形式的解更感兴趣，他的学生们弥补了这方面的不足。尤其是雅各布.伯努利，他在1689——1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，使他成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下的面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布.伯努利对微积分算法的重要贡献。但就级数理论本身而言，其中一个很有启发性的工作是关于调和级数 的和是无穷的证明。他首先指出了

故有 。

这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。

调和级数的讨论引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得的一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在1730年得到一个发散的级数表示：

它相当于

利用它可以作 的近似计算。当n很大时， ，称之为斯特公式，虽然这一极限情形是由棣莫弗得到的。

5）牛顿的“流数术”

牛顿（Isaac Newton ,1642——1727）于伽利略去世那年——1642年（儒略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛顿不是神童成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父 W .埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。