《〈原理》与微积分

《原理》中并没有明显的分析形式的微积分，整部著作是以综合几何的语言写成的。但牛顿在第一卷第1章开头部分通过一组引理（共11条）建立了“首末比法”，这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法，不过在《原理》中，首末比方法本身也强烈地诉诸几何直观。

第一卷引理1：“量以及量之比，若在一有限时间内连续趋于相等，并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量，则它们最终也变为相等”，可以看作是初步的极限定义。在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积：如图6.6，在曲线acE与直线Aa，AE所围成的图形AacE中内接任意个数的矩形Ab，Bc，Cd，…，同时作矫形akbl，bLcm，cMdn，…。牛顿首先设所有的底AB，BC，CD，DE，…皆相等，证明了“当这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时，……内接形AkbLcMdD，外接形AalbmcndoE与曲线abcdE相互的最终比是等量比”。然后指出当矩形之宽互不相等（如图设最大宽度为AF）但都无限缩小时，上述最终比仍是等量比。牛顿还证明书了：给定曲线弧 以及相应的弦和切线段，当点A与B“相接近而最终相合时”，“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”，等等。